Excel関数 逆引き集 | 逆行列 → MINVERSE

概要

MINVERSE 関数は、「行列の逆行列」を求める関数です。
数学でいうところの

$$A^{-1}$$

を Excel 上で計算してくれるイメージです。

逆行列は、「元の行列と掛けると単位行列になる行列」です。

$$A\times A^{-1}=I$$

連立一次方程式をまとめて解いたり、行列を使ったモデル計算をしたりするときに使います。

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MINVERSE 関数の基本

書式と意味

=MINVERSE(array)

array：逆行列を求めたい「正方行列」の範囲（2×2、3×3 など）

ポイントは次の 2 つです。

• 正方行列（行数＝列数）でないといけない
• 逆行列が存在しない行列（行列式が 0 の行列）に対してはエラーになる

MINVERSE は、指定した範囲と同じサイズの「逆行列」を返します。

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逆行列のイメージ

「掛けると元に戻す」役割

逆行列は、ざっくり言うと「掛けると元に戻すための行列」です。

例えば、行列 A を使ってベクトル x から y を作ったとします。

$$y=Ax$$

このとき、逆行列 (A^{-1}) があれば、

$$x=A^{-1}y$$

と、元の x を取り戻せます。

Excel では、

• A：MINVERSE で逆行列を求める
• x, y：MMULT で掛け算する

という流れで、行列を使った方程式を扱えます。

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コード例（2×2 行列の逆行列）

2×2 行列の逆行列を求める

次のような 2×2 行列 A があるとします。

A1:B2 に行列 A を入力：

A1：1　B1：2
A2：3　B2：4

この 2×2 行列の逆行列 (A^{-1}) を求めたい場合、
結果を D1:E2 に出すとして、D1 に次の式を入力します。

=MINVERSE(A1:B2)

動的配列対応の Excel なら、そのまま Enter で D1:E2 に結果がスピルします。
古いバージョンでは、D1:E2 を選択 → 数式バーに式を入力 → Ctrl+Shift+Enter で配列数式として確定します。

数学的には、2×2 行列

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

の逆行列は、

$$A^{-1}=\frac{1}{(1\cdot 4-2\cdot 3)}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$$

となります。
MINVERSE は、この計算を内部で自動的に行ってくれます。

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MINVERSE と MMULT の組み合わせ

逆行列が本当に正しいか確かめる

逆行列の定義は「掛けると単位行列になる」ことなので、
MINVERSE の結果が正しいかどうかは、MMULT で確かめられます。

先ほどの例で、A1:B2 に行列 A、D1:E2 に MINVERSE(A1:B2) の結果が入っているとします。
このとき、G1 に次の式を入れると、2×2 の単位行列が得られるはずです。

=MMULT(A1:B2, D1:E2)

結果は理論上、

1 0
0 1

という形になります（計算誤差で 0 が 1E-16 などの小さい値になることはあります）。

連立一次方程式を解く

例えば、次のような連立方程式を考えます。

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$$

これを行列で書くと、

$$Ax=b$$

となります。
ここで、A の逆行列があれば、

$$x=A^{-1}b$$

で解が求まります。

Excel では、

• A をセル範囲に入力
• b を縦ベクトルとしてセル範囲に入力
• MINVERSE で A の逆行列を求める
• MMULT で (A^{-1}) と b を掛ける

という流れで、連立方程式の解を一気に求められます。

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MINVERSE を使うときの注意点

正方行列でないとエラー

MINVERSE の引数 array は、必ず「行数＝列数」の正方行列である必要があります。
2×3 や 3×2 のような行列を渡すと #VALUE! エラーになります。

逆行列が存在しない場合（特異行列）

行列の行や列が「線形従属」になっている場合（行列式が 0 の場合）、逆行列は存在しません。
このような行列に MINVERSE を使うと、#NUM! エラーになります。

例えば、次のような 2×2 行列：

A1：1　B1：2
A2：2　B2：4

2 行目が 1 行目の 2 倍になっているので、行列式は 0 になり、逆行列は存在しません。
MINVERSE(A1:B2) は #NUM! になります。

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例題

問題1

A1:B2 に次の行列 A が入っています。

A1：1　B1：2
A2：3　B2：4

この行列の逆行列を MINVERSE で求める式を書いてください。
また、結果の行列のサイズ（何行×何列）になるかも答えてください。

問題2

A1:C3 に 3×3 の正方行列が入っています。
この行列の逆行列を求める式を書いてください。
動的配列対応の Excel を前提として、どのセルに式を入力し、どの範囲に結果がスピルするかも説明してください。

問題3

A1:B2 に行列 A、D1:E2 に MINVERSE(A1:B2) の結果が入っているとします。
このとき、A×A⁻¹ が単位行列になることを確かめるための MMULT の式を書いてください。
また、その結果がどのような行列になるか説明してください。

問題4

A1:B2 に次の行列が入っています。

A1：1　B1：2
A2：2　B2：4

この行列に対して MINVERSE(A1:B2) を実行すると、どのような結果（エラーの種類）になるか、理由とともに答えてください。

問題5

MINVERSE を使わずに、2×2 行列

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

の逆行列を手計算で求めるときの公式を書いてみてください。
そのうえで、「この計算を毎回手でやる代わりに MINVERSE を使うメリット」を、自分の言葉で説明してみてください。